Ключевые слова:

• система счисления
• цифра
• алфавит
• позиционная система счисления
• основание
• развёрнутая форма записи числа
• свёрнутая форма записи числа
• двоичная система счисления
• восьмеричная система счисления
• шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Рис. 1.1.
Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример 1 . У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

1. унарные системы;
2. непозиционные системы;
3. позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарные системы ещё называют системами бирок.

В непозиционных системах счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

Пример 2 . В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, - пример позиционной системы счисления. В ней алгоритмические числа образуются следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления - простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

a 1 - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

q 1 - «вес» i-гo разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

Например:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим из формулы (1") правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Разделим

а n-1 2 n-1 + а n-2 2 n-2 + ... + а 0 2 0 на 2.

Частное будет равно

а n-1 2 n-2 + ... + а 1 ,

а остаток будет равен а 0 .

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а 1 .

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

а 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. При записи исходного числа в двоичной системе счисления следует учитывать, что остатки от деления на 2 нами получены в порядке, обратном порядку расположения соответствующих цифр в двоичном представлении исходного числа.

Пример 4 . Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11 10 = 1011 2 .

Пример 5 . Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF16 означает:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

Пример 7 . Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

1. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Составим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 20.

В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления». С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.

В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления - метод разностей.

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8 . Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.

Пример 9 . Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

1.1.7. «Компьютерные» системы счисления

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ перед другими системами:

• двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
• представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
• двоичная арифметика наиболее проста;
• существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.

Самое главное

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А - число;

q - основание системы счисления;

а i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n - количество целых разрядов числа;

m - количество дробных разрядов числа;

q i - «вес» i-гo разряда.

Вопросы и задания

В разделе на вопрос Какие две формы записи чисел есть? заданный автором Просфора лучший ответ это В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.
Позиция цифры в числе называется разрядом.
Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.
Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.
ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2.
В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1.
или
Aq – число в q-ичной системе счисления,
q – основание системы счисления,
Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m – число дробных разрядов числа.
Коэффициенты ai - цифры числа, записанного в q-ичной системе счисления.
Свернутая форма записи числа:
Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни,
её называют естественной или цифровой.
Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 10.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры десятичного числа.
Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:
123,4510 · 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

| Планирование уроков и материалы к урокам | 8 классы | Планирование уроков на учебный год (по учебнику Н.Д. Угриновича) | Развернутая и свернутая формы записи чисел. Перевод из произвольной в десятичную систему счисления

Урок 19
Развернутая и свернутая формы записи чисел. Перевод из произвольной в десятичную систему счисления

§ 4.1. Кодирование числовой информации

4.1.2. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение цифры в нем становится равным или большим основания системы счисления. Для двоичной системы счисления это значение равно двум.

Сложение многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

Сравним результаты - сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел.

При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110 2 и 11 2:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110 2 и 11 2:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания для самостоятельного выполнения

4.6. Задание с развернутым ответом. Выполните сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2

Система счисления

Система счисления - это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами . Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные . Знаки, используемые при записи чисел , называютсяцифрами.

Внепозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе .

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Пример 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Впозиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции . Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой . Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметьалфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q . q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутая форма записи числа

Пусть Aq - число в системе с основанием q , аi - цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A , n + 1 - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа:

Развернутой формой числа А называется запись в виде:

Например, для десятичного числа:

В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:

В любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Ответ

Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 · 10 4 + 4 · 10 3 + 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 1 · 10 0 + 1 · 10 -1 .

Переход от свернутой формы к развернутой

1. Посмотрите на данное вам число и определите количество его цифр.

Пример:
Напишите 5827 в развернутом виде.

Прочитайте число вслух: пять тысяч восемьсот двадцать семь.

Обратите внимание, что в этом числе есть четыре цифры. В результате развернутая форма будет содержать четыре слагаемых.

2. Перепишите число в виде суммы его цифр, оставив между ними некоторое расстояние, чтобы умножить каждую цифру на некоторую цифру (об этом далее).

Пример:
5827 перепишите так:

3. Цифры числа расположены в определенных позициях, которые соответствуют (справа налево) единицам, десяткам, сотням, тысячам и так далее. Определите название позиции и ее значение для каждой цифры (справа налево).

Пример:
Так как в данном числе четыре цифры, то вам нужно определить названия четырех позиций (справа налево).

7 соответствует единицам (значение = 1 = 10 0).
2 соответствует десяткам (значение = 10 = 10 1).
8 соответствует сотням (значение = 100 = 10 2).
5 соответствует тысячам (значение = 1000 = 10 3).

4. Умножьте каждую цифру данного числа на значение соответствующей ей позиции.

Пример:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0